Verträglichkeit (Logik)

In der Logik bezeichnet man eine Aussage A als verträglich mit einer Aussage B, wenn es möglich ist, dass sowohl A als auch B gleichzeitig wahr sind, wenn also aus A und B nicht zwangsläufig ein Widerspruch folgt. Sind A und B nicht verträglich, so nennt man sie unverträglich.^[1]

Beispiel: Wir betrachten für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ die beiden Sätze:

A: ${\displaystyle n}$ ist gerade

B: ${\displaystyle n}$ ist eine Quadratzahl

Die Aussagen A und B sind verträglich, weil aus ihrer Konjunktion nicht zwangsläufig ein Widerspruch folgt. Beispielsweise sind mit ${\displaystyle n=4}$ beide Aussagen wahr: ${\displaystyle 4}$ ist gerade und eine Quadratzahl. Hingegen sind die Sätze

C: ${\displaystyle n}$ ist durch ${\displaystyle 6}$ teilbar

D: ${\displaystyle n}$ ist ungerade

unverträglich, da jede Zahl, die gemäß C durch ${\displaystyle 6}$ teilbar ist, insbesondere auch durch ${\displaystyle 2}$ teilbar und somit gerade ist, was der Aussage D widerspricht. Aus den Sätzen C und D folgt deshalb zwangsläufig ein Widerspruch.

Ist A mit B verträglich, so auch B mit A.

Dies geht unmittelbar aus der Kommutativität der Und-Verknüpfung hervor. Die Verträglichkeit ist also eine symmetrische Relation.

Zwei wahre Aussagen sind verträglich.

Wenn zwei Aussagen grundsätzlich wahr sind, dann ist es insbesondere möglich, dass sie gleichzeitig wahr sind, also sind zwei wahre Aussagen immer verträglich.

Keine Aussage ist mit einer falschen Aussage verträglich.

Da eine falsche Aussage niemals wahr ist, ist es insbesondere nicht möglich, dass sie und eine andere Aussage gleichzeitig wahr sind. Jede Aussage ist daher mit einer falschen Aussage unverträglich.

Ist A mit B verträglich und B mit C verträglich, so ist A nicht zwangsläufig mit C verträglich.

Anders ausgedrückt: Die Relation der Verträglichkeit ist nicht transitiv. Sei zum Beispiel A die Aussage „Anna wohnt in Deutschland“, B die Aussage „Anna wohnt in Europa“ und C die Aussage „Anna wohnt in Frankreich.“ Da sowohl Deutschland als auch Frankreich europäische Länder sind, sind die Aussagen A und B sowie B und C jeweils verträglich. Da eine Person jedoch nicht gleichzeitig in zwei verschiedenen Ländern wohnen kann, sind die Aussagen A und C unverträglich.

Ist A mit B verträglich und folgt C aus B, so ist A auch mit C verträglich.

Da A mit B verträglich ist, muss es Fälle geben, in denen sowohl A als auch B wahr sind. Da C aus B folgt, ist dann auch C wahr, sodass damit ein Fall gefunden ist, in dem sowohl A als auch C wahr sind. Also ist A auch mit C verträglich.

Ist A mit B verträglich und folgt B aus C, so ist A nicht zwangsläufig mit C verträglich.

Gegenbeispiel: Sei A die Aussage „Anna wohnt in Berlin“, B die Aussage „Anna wohnt in Deutschland“ und C die Aussage „Anna wohnt in München.“ Da Berlin eine deutsche Stadt ist, sind die Aussagen A und B verträglich. Weil außerdem München in Deutschland liegt, folgt B aus C. Da eine Person jedoch nicht gleichzeitig in zwei verschiedenen Städten wohnen kann, sind die Aussagen A und C unverträglich.

1. ↑ Michael Wolff: Abhandlung über die Prinzipien der Logik. In: Philosophische Abhandlungen. 3. Auflage. Band 121. Klostermann, Frankfurt am Main 2023, ISBN 978-3-465-14615-5, S. 390–393.