Total normaler Raum

Total normale Räume sind im mathematischen Teilgebiet der Topologie normale Räume, in denen jede offene Menge eine Zusatzeigenschaft hat. Diese Räume wurden 1953 von Clifford Hugh Dowker eingeführt.^[1]

Ein normaler Raum heißt total normal, wenn jede offene Menge eine lokal endliche Überdeckung aus offenen F_σ-Mengen besitzt.^[2]

Diese recht technischen Bedingungen bedeuten im Einzelnen: Jede offene Menge ${\displaystyle U}$ des Raumes ${\displaystyle X}$ ist eine Vereinigung ${\displaystyle \textstyle U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$, wobei Folgendes gilt:

• ${\displaystyle I}$ ist eine Indexmenge und jedes ${\displaystyle U_{i}\subset X}$ ist offen. (Übereckung durch offene Mengen)
• Jeder Punkt ${\displaystyle x\in U}$ besitzt eine offene Umgebung ${\displaystyle V}$, so dass ${\displaystyle V\cap U_{i}\not =\emptyset }$ nur für endlich viele Indizes gilt. (Lokale Endlichkeit der Überdeckung)
• Jede Menge ${\displaystyle U_{i}}$ ist abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen. (F_σ-Eigenschaft)

In normalen Räumen ${\displaystyle X}$ ist die F_σ-Eigenschaft einer offenen Menge ${\displaystyle U}$ äquivalent zur Existenz einer stetigen Funktion ${\displaystyle f\colon X\rightarrow [0,1]}$, so dass ${\displaystyle U=\{x\in X\mid f(x)\not =0\}}$. Ersetzt man die F_σ-Eigenschaft obiger Definition durch diese Äquivalenz, so erhält man eine alternative Definition.^[3]

• Perfekt normale Räume sind total normal, denn in solchen Räumen ist jede offene Menge schon eine F_σ-Menge.^[4][5] Insbesondere sind also alle metrischen Räume total normal.
• Erblich parakompakte Räume, das sind parakompakte Hausdorff-Räume, deren sämtliche Teilräume ebenfalls parakompakt sind, sind total normal.^[6][7]
• Sei ${\displaystyle X}$ eine überabzählbare Menge, ${\displaystyle Y={\mathcal {P}}(X)}$ die Potenzmenge von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle F=2^{Y}}$ die Menge aller Funktionen ${\displaystyle Y\rightarrow \{0,1\}}$.

Auf ${\displaystyle F}$ erklären wir nun eine Topologie. Für jedes ${\displaystyle x\in X}$ sei ${\displaystyle f_{x}\in F}$ die Indikatorfunktion der Menge ${\displaystyle \{y\in Y\mid x\in y\}}$, das heißt ${\displaystyle f_{x}(y)=1}$ genau dann, wenn ${\displaystyle x\in y}$, und ${\displaystyle F_{0}}$ sei die Menge aller Funktionen ${\displaystyle f_{x}}$, ${\displaystyle x\in X}$. Weiter sei ${\displaystyle Y_{0}}$ die Menge der endlichen Teilmengen von ${\displaystyle Y}$ und für jedes ${\displaystyle f_{x}\in F_{0}}$ und ${\displaystyle r\in Y_{0}}$ sei ${\displaystyle (f_{x}:r):=\{f\in F\mid f(y)=f_{x}(y){\text{ für alle }}y\in r\}}$. Die Topologie auf ${\displaystyle F}$ wird nun dadurch erklärt, dass zu jedem Element ${\displaystyle f\in F}$ eine Umgebungsbasis angegeben wird. Für Elemente ${\displaystyle f\in F\setminus F_{0}}$ sei ${\displaystyle \{f\}}$ offen, insbesondere also eine Umgebungsbasis, und für alle ${\displaystyle f=f_{x}\in F_{0}}$ nehme man ${\displaystyle \{(f_{x}:r)\mid r\in Y_{0}\}}$ als Umgebungsbasis. Dieser auf R. H. Bing zurückgehende topologische Raum ist total normal, aber nicht perfekt normal.^[8]

• Total normale Räume sind vollständig normal.^[9][10]
• Teilräume total normaler Räume sind wieder total normal.^[11][12]

Total normale Räume zeigen bezüglich der großen induktiven Dimension ${\displaystyle \operatorname {Ind} }$ das erwartete Verhalten, sie erfüllen den Teilmengensatz und den Summensatz.^[13][14], das heißt

• Ist ${\displaystyle X}$ total normal und ${\displaystyle Y\subset X}$, so gilt ${\displaystyle \operatorname {Ind} (Y)\leq \operatorname {Ind} (X)}$.
• Ist ${\displaystyle X}$ total normal und ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Überdeckung aus abgeschlossenen Mengen, so gilt ${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {Ind} (Y_{n})}$

• C. H. Dowker: Inductive Dimension of Completely Normal Spaces (in The Mathematical Legacy of Eduard Čech). Hrsg.: M. Katĕtov, P. Simon. Birkhäuser, Basel, Boston, Berlin 1993, ISBN 978-3-0348-7526-4, S. 165–177, doi:10.1007/978-3-0348-7524-0 (englisch). 
• K. Nagami: Dimension Theory. Academic Press Inc, New York, London 1970, ISBN 0-12-513650-1, Kap 1.7 Totally Normal Spaces (englisch). 

1. ↑ C. H. Dowker: Inductive Dimension of Completely Normal Spaces. In: The Quarterly Journal of Mathematics. Band 4, Nr. 1, 1953, S. 267–281, doi:10.1093/qmath/4.1.267 (englisch). 
2. ↑ Dowker, Definition auf Seite 170
3. ↑ Nagami, Definition 7.1 auf Seite 42
4. ↑ Dowker, 4.1 auf Seite 170
5. ↑ Nagami, Satz 7.2 auf Seite 42
6. ↑ Dowker, 4.2 auf Seite 170
7. ↑ Nagami, Satz 7.3 auf Seite 42
8. ↑ Nagami, Beispiel 2.3 auf Seite 7 und Bemerkung 7.6 auf Seite 43
9. ↑ Dowker, 4.6 auf Seite 173
10. ↑ Nagami, Satz 7.4 auf Seite 42
11. ↑ Dowker, 4.7 auf Seite 173
12. ↑ Nagami, Satz 7.5 auf Seite 43
13. ↑ Nagami, Abschnitt 5, Seite 173
14. ↑ Nagami, Satz 11.5 auf Seite 61