Ruijsenaars-Schneider-Modell

Ruijsenaars-Schneider-Modelle (kurz RS-Modelle) sind relativistische Verallgemeinerungen von Calogero-Moser-Sutherland-Modellen (kurz CSM-Modelle), welche eng mit relativistischen Feldtheorien wie dem Sinus-Gordon-Modell zusammenhängen. RS-Modelle sind nach Simon N. M. Ruijsenaars und Herbert Schneider benannt. Beide führten die klassischen Modelle im Jahr 1986 ein und Ruijsenaars führte die quantentheoretischen Modelle im Jahr 1987 ein.^[1]

Für ${\displaystyle N}$ punktartige Teilchen auf der reellen Gerade ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist die Hamilton-Funktion des RS-Modells gegeben durch:^[2]

${\displaystyle H=mc^{2}\sum _{i=1}^{N}\cosh \left({\frac {p_{i}}{mc}}\right)\prod _{1\leq i<j\leq N}f(x_{i}-x_{j}).}$

Verschiedene Potentiale führen auf verschiedene RS-Modelle, dabei sind die vier am häufigsten betrachtete Typen:

• Typ I/rational:

  ${\displaystyle f(x)^{2}=1+\left({\frac {g}{mcx}}\right)^{2}.}$

• Typ II/hyperbolisch:

  ${\displaystyle f(x)^{2}=1+{\frac {\sin \left({\frac {ag}{mc}}\right)^{2}}{\sinh(ax)^{2}}}.}$

• Typ III/trigonometrisch:

  ${\displaystyle f(x)^{2}=1+{\frac {\sinh \left({\frac {ag}{mc}}\right)^{2}}{\sin(ax)^{2}}}.}$

• Typ IV/elliptisch:^[3]

  ${\displaystyle f(x)^{2}=a+b\wp (x;\omega _{1},\omega _{2}).}$

• Simon N. M. Ruijsenaars, Herbert Schneider: A new class of integrable systems and its relation to solitons. In: Annals of Physics. 170. Jahrgang, Nr. 2, September 1986, S. 370–405, doi:10.1016/0003-4916(86)90097-7 (englisch). 
• Simon N. M. Ruijsenaars: Complete integrability of relativistic Calogero-Moser systems and elliptic function identities. In: Communications in Mathematical Physics. 110. Jahrgang, Juni 1987, S. 191–213, doi:10.1007/BF01207363 (englisch). 
• Gleb Arutyunov: Elements of Classical and Quantum Integrable Systems. Springer Nature, 2019, ISBN 978-3-03024197-1, doi:10.1007/978-3-030-24198-8 (englisch). 
• Martin Hallnäs: Calogero-Moser-Sutherland systems. In: Richard Szabo, Martin Bojowald (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematical Physics. 2. Auflage. Academic Press, 2024, ISBN 978-0-323-95703-8, arxiv:2312.12932 (englisch). 

1. ↑ Hallnäs 2023, S. 2
2. ↑ Ruijsenaars 1987, Gleichung (1.1)
3. ↑ Ruijsenaars 1987, Gleichung (1.4)