Reissner-Nordström-De-Sitter-Metrik

Die Reissner-Nordström-De-Sitter-Metrik (kurz RNdS-Metrik, ${\displaystyle \Lambda >0}$) und Reissner-Nordström-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz RNAdS-Metrik, ${\displaystyle \Lambda <0}$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Reissner-Nordström-Metrik (${\displaystyle \Lambda =0}$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante ${\displaystyle \Lambda }$. Außerhalb von Materie sind diese daher spezielle Elektrovakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit dem elektromagnetischem Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes und mit dunkler Energie.

Mit der Masse ${\displaystyle M}$, der elektrischen Ladung ${\displaystyle Q}$ und der kosmologischen Konstante ${\displaystyle \Lambda }$ ist die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik gegeben durch:^[1][2][3]

${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}s=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)\mathrm {d} ^{2}t+\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)^{-1}\mathrm {d} ^{2}r+r^{2}\mathrm {d} \Omega .}$

Die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik wird singulär (die entsprechende Matrixdarstellung nicht mehr invertierbar) für:

${\displaystyle f(r)=g_{tt}(r)=g_{rr}(r)^{-1}={\frac {\Lambda }{3}}r^{4}-r^{2}+2Mr-Q^{2}\;{\stackrel {!}{=}}\;0.}$

Es gilt ${\displaystyle f(0)<0}$. Für ${\displaystyle \Lambda <0}$ (AdS) ist ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \pm \infty }f(r)=-\infty }$, womit aus dem Zwischenwertsatz keine Nullstelle gefolgert werden kann. Für geeignete Werte, etwa bei einer kleinen Masse ${\displaystyle M}$, einer großen Ladung ${\displaystyle Q}$ und einer großen kosmologische Konstante ${\displaystyle \Lambda }$, gibt es überhaupt keine Nullstelle und die ganze Funktion ist negativ. Für ${\displaystyle \Lambda >0}$ (dS) ist ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \pm \infty }f(r)=\infty }$, weshalb wegen des Zwischenwertsatzes mindestens eine Nullstelle für ${\displaystyle r<0}$ gibt, welche jedoch aufgrund der physikalischen Bedeutung des Radius nicht relevant ist, und mindestens eine Nullstelle für ${\displaystyle r>0}$. Zudem gilt:

• ${\displaystyle f'(r)={\frac {4\Lambda }{3}}r^{3}-2r+2M}$
• ${\displaystyle f''(r)=4\Lambda r^{2}-2}$, also gibt es für ${\displaystyle \Lambda <0}$ keinen Krümmungswechsel und für ${\displaystyle \Lambda >0}$ zwei Krümmungswechsel bei ${\displaystyle r=\pm {\sqrt {2/\Lambda }}}$.

• Xin-Ping Li, Yu-Bo Ma, Yang Zhang, Li-Chun Zhang und Huai-Fan Li: Thermodynamics of phase transition in Reissner–Nordström–de Sitter spacetime. In: Chinese Journal of Physics. Band 83, Juni 2023, S. 123–135, doi:10.1016/j.cjph.2022.04.018 (englisch). 
• Anna Chrysostomou, Alan S. Cornell, Aldo Deandrea, Hajar Noshad, Seong Chan Park: Reissner-Nordström black holes in de Sitter space-time: bounds with quasinormal frequencies. 23. Oktober 2023, doi:10.48550/arXiv.2310.07311, arxiv:2310.07311 (englisch). 
• Z. Stuchlík und A. Zhidenko: Non-oscillatory gravitational quasinormal modes of Reissner-Nordström-de Sitter spacetime. 11. Juni 2025, doi:10.48550/arXiv.2506.09829, arxiv:2506.09829 (englisch). 

1. ↑ Li, Ma, Zhang, Zhang & Li 2023, Gleichungen (5) und (6)
2. ↑ Chrysostomou, Cornell, Deandrea, Noshad & Park 2023, Gleichungen (2.4) bis (2.10)
3. ↑ Stuchlík & Zhidenko 2025, Gleichungen (1.1) und (1.2)