Prouhet-Tarry-Escott-Problem

In der Mathematik verlangt das Prouhet-Tarry-Escott-Problem nach zwei disjunkten Multimengen A und B mit jeweils ${\displaystyle n}$ ganzen Zahlen, deren erste ${\displaystyle k}$ symmetrische Potenzsummenpolynome alle gleich sind. Anders formuliert, sollten die beiden Multimengen folgende Gleichungen erfüllen:

${\displaystyle \sum _{a\in A}a^{i}=\sum _{b\in B}b^{i}}$ für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ zwischen 1 und einem gegebenen ${\displaystyle k}$

Es konnte gezeigt werden, dass ${\displaystyle k<n}$ sein muss.

Mit anderen Worten werden ganzzahlige Lösungen für das folgende Gleichungssystem gesucht:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}a_{1}^{1}+a_{2}^{1}+\ldots +a_{n}^{1}&=&b_{1}^{1}+b_{2}^{1}+\ldots +b_{n}^{1}\\a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}&=&b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}\\a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots +a_{n}^{3}&=&b_{1}^{3}+b_{2}^{3}+\ldots +b_{n}^{3}\\\ldots &&\\a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\ldots +a_{n}^{k}&=&b_{1}^{k}+b_{2}^{k}+\ldots +b_{n}^{k}\\\end{array}}}$

Oder kurz:

${\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\ldots +a_{n}^{k}=b_{1}^{k}+b_{2}^{k}+\ldots +b_{n}^{k}\quad }$ mit ${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots ,n-1\}}$

Lösungen, die bis ${\displaystyle k=n-1}$ gelten, nennt man ideale Lösungen.

Ideale Lösungen sind bekannt für ${\displaystyle 3\leq n\leq 10}$ und für ${\displaystyle n=12}$. Somit sind keine idealen Lösungen bekannt für ${\displaystyle n=11}$ und für ${\displaystyle n\geq 13}$.^[1]

Das Problem wurde nach den drei Mathematikern Eugène Prouhet, Gaston Tarry und Edward B. Escott benannt, die es in den frühen 1850er-Jahren (Prouhet) bzw. in den frühen 1910er-Jahren (Tarry & Escott) untersuchten. Das Problem selbst geht auf Briefe von Christian Goldbach und Leonhard Euler aus den Jahren 1750/1751 zurück.

• Eine symmetrische Lösung hat die folgende Form:

${\displaystyle A=\{T\pm a_{1},T\pm a_{2},\ldots ,T\pm a_{n}\}}$ und ${\displaystyle B=\{T\pm b_{1},T\pm b_{2},\ldots ,T\pm b_{n}\}}$ für gerade ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle T\in {\frac {\mathbb {Z} }{2}}}$

${\displaystyle A=\{T+a_{1},T+a_{2},\ldots ,T+a_{n}\}}$ und ${\displaystyle B=\{T-a_{1},T-a_{2},\ldots ,T-a_{n}\}}$ für ungerade ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle T\in \mathbb {Z} }$

• Lösungen, die obige Eigenschaft nicht besitzen, heißen nicht-symmetrische Lösungen.

• Eine ideale Lösung für ${\displaystyle n=6}$ ist die folgende:^[2]

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}0^{1}+5^{1}+6^{1}+16^{1}+17^{1}+22^{1}&=&1^{1}+2^{1}+10^{1}+12^{1}+20^{1}+21^{1}\quad (=66)\\0^{2}+5^{2}+6^{2}+16^{2}+17^{2}+22^{2}&=&1^{2}+2^{2}+10^{2}+12^{2}+20^{2}+21^{2}\quad (=1090)\\0^{3}+5^{3}+6^{3}+16^{3}+17^{3}+22^{3}&=&1^{3}+2^{3}+10^{3}+12^{3}+20^{3}+21^{3}\quad (=19998)\\0^{4}+5^{4}+6^{4}+16^{4}+17^{4}+22^{4}&=&1^{4}+2^{4}+10^{4}+12^{4}+20^{4}+21^{4}\quad (=385234)\\0^{5}+5^{5}+6^{5}+16^{5}+17^{5}+22^{5}&=&1^{5}+2^{5}+10^{5}+12^{5}+20^{5}+21^{5}\quad (=7632966)\\\end{array}}}$

oder kurz:

${\displaystyle 0^{k}+5^{k}+6^{k}+16^{k}+17^{k}+22^{k}\quad =\quad 1^{k}+2^{k}+10^{k}+12^{k}+20^{k}+21^{k}\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5\}}$

oder mit der Schreibweise, mit der dieser Artikel eingeführt wurde:

Eine ideale Lösung für ${\displaystyle n=6}$ ist für die beiden Mengen ${\displaystyle A=\{0,5,6,16,17,22\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,2,10,12,20,21\}}$ bekannt.

Eine weitere, noch kürzere Schreibweise ist die folgende:

${\displaystyle [0,5,6,16,17,22]=[1,2,10,12,20,21]}$ ist eine ideale Lösung für ${\displaystyle k=5}$ (oder ${\displaystyle n=6}$).

Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=11}$ symmetrisch, weil sie die folgende Form haben:

${\displaystyle A=\{11\pm 11,11\pm 6,11\pm 5\}}$ und ${\displaystyle B=\{11\pm 10,11\pm 9,11\pm 1\}}$

Diese Lösung wurde von G. Tarry im Jahr 1912 entdeckt.

• Eine ideale (und bezüglich ${\displaystyle T=5,5}$ sogar symmetrische) Lösung für ${\displaystyle n=4}$ ist für die beiden Mengen ${\displaystyle A=\{{\frac {11}{2}}\pm {\frac {11}{2}},{\frac {11}{2}}\pm {\frac {3}{2}}\}}$ und ${\displaystyle B=\{{\frac {11}{2}}\pm {\frac {9}{2}},{\frac {11}{2}}\pm {\frac {7}{2}}\}}$ bekannt:

${\displaystyle A=\{0,4,7,11\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,2,9,10\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+4^{k}+7^{k}+11^{k}=1^{k}+2^{k}+9^{k}+10^{k}\quad (=22,186}$ bzw. ${\displaystyle 1738)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3\}}$

• Eine ideale (und bezüglich ${\displaystyle T=9}$ sogar symmetrische) Lösung für ${\displaystyle n=5}$ ist für die beiden Mengen ${\displaystyle A=\{9+(-9),9+(-5),9+(-1),9+7,9+8\}}$ und ${\displaystyle B=\{9-(-9),9-(-5),9-(-1),9-7,9-8\}}$ bekannt:

${\displaystyle A=\{0,4,8,16,17\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,2,10,14,18\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+4^{k}+8^{k}+16^{k}+17^{k}=1^{k}+2^{k}+10^{k}+14^{k}+18^{k}\quad (=45,625,9585}$ bzw. ${\displaystyle 153409)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}$

• Eine ideale (und bezüglich ${\displaystyle T=0}$ sogar symmetrische) Lösung für ${\displaystyle n=12}$ ist für die beiden Mengen ${\displaystyle A=\{\pm 22,\pm 61,\pm 86,\pm 127,\pm 140,\pm 151\}}$ und ${\displaystyle B=\{\pm 35,\pm 47,\pm 94,\pm 121,\pm 146,\pm 148\}}$ bekannt. Es gilt also:

${\displaystyle (-151)^{k}+(-140)^{k}+(-127)^{k}+(-86)^{k}+(-61)^{k}+(-22)^{k}+22^{k}+61^{k}+86^{k}+127^{k}+140^{k}+151^{k}=(-148)^{k}+(-146)^{k}+(-121)^{k}+(-94)^{k}+(-47)^{k}+(-35)^{k}+35^{k}+47^{k}+94^{k}+121^{k}+146^{k}+148^{k}}$

für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}}$

Diese Lösung wurde von Nuutti Kuosa, Jean-Charles Meyrignac und Chen Shuwen im Jahr 1999 entdeckt.

• Es folgen ein paar bekannte ideale Lösungen für ${\displaystyle 2\leq n\leq 10}$ und ${\displaystyle n=12}$, die bezüglich ${\displaystyle T=0}$ symmetrisch sind:

Ideale Lösungen für ${\displaystyle 2\leq n\leq 10}$ und ${\displaystyle n=12}$, die bezüglich ${\displaystyle T=0}$ symmetrisch sind

• Für ${\displaystyle n=2}$ ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:

• ${\displaystyle A=\{\pm 2\}}$ und ${\displaystyle B=\{\pm 1\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle (-2)^{k}+2^{k}=(-1)^{k}+1^{k}\quad (=0)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1\}}$

• Für ${\displaystyle n=3}$ ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:

• ${\displaystyle A=\{-2,-1,3\}}$ und ${\displaystyle B=\{2,1,-3\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle (-2)^{k}+(-1)^{k}+3^{k}=2^{k}+1^{k}+(-3)^{k}\quad (=0,14)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2\}}$

• Für ${\displaystyle n=4}$ ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:

• ${\displaystyle A=\{\pm 3,\pm 11\}}$ und ${\displaystyle B=\{\pm 7,\pm 9\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle (-11)^{k}+(-3)^{k}+3^{k}+11^{k}=(-9)^{k}+(-7)^{k}+7^{k}+9^{k}\quad (=0,260,0)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3\}}$

• Für ${\displaystyle n=5}$ ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:

• ${\displaystyle A=\{-8,-7,1,5,9\}}$ und ${\displaystyle B=\{8,7,-1,-5,-9\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle (-8)^{k}+(-7)^{k}+1^{k}+5^{k}+9^{k}=8^{k}+7^{k}+(-1)^{k}+(-5)^{k}+(-9)^{k}\quad (=0,220,0,13684)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}$

• Für ${\displaystyle n=6}$ ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:

• ${\displaystyle A=\{\pm 4,\pm 9,\pm 13\}}$ und ${\displaystyle B=\{\pm 1,\pm 11,\pm 12\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle (-13)^{k}+(-9)^{k}+(-4)^{k}+4^{k}+9^{k}+13^{k}=(-12)^{k}+(-11)^{k}+(-1)^{k}+1^{k}+11^{k}+12^{k}\quad (=0,532,0,70756,0)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5\}}$

• Für ${\displaystyle n=7}$ ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:

• ${\displaystyle A=\{-51,-33,-24,7,13,38,50\}}$ und ${\displaystyle B=\{51,33,24,-7,-13,-38,-50\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle (-51)^{k}+(-33)^{k}+(-24)^{k}+7^{k}+13^{k}+38^{k}+50^{k}=51^{k}+33^{k}+24^{k}+(-7)^{k}+(-13)^{k}+(-38)^{k}+(-50)^{k}\quad }$

${\displaystyle (=0,8428,0,16648996,0,37719739588)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6\}}$

• Für ${\displaystyle n=8}$ ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:

• ${\displaystyle A=\{\pm 2,\pm 16,\pm 21,\pm 25\}}$ und ${\displaystyle B=\{\pm 5,\pm 14,\pm 23,\pm 24\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle (-25)^{k}+(-21)^{k}+(-16)^{k}+(-2)^{k}+2^{k}+16^{k}+21^{k}+25^{k}=(-24)^{k}+(-23)^{k}+(-14)^{k}+(-5)^{k}+5^{k}+14^{k}+23^{k}+24^{k}\quad }$

${\displaystyle (=0,2652,0,1301316,0,693368052,0)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7\}}$

• Für ${\displaystyle n=9}$ ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:

• ${\displaystyle A=\{-98,-82,-58,-34,13,16,69,75,99\}}$ und ${\displaystyle B=\{98,82,58,34,-13,-16,-69,-75,-99\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle (-98)^{k}+(-82)^{k}+(-58)^{k}+(-34)^{k}+13^{k}+16^{k}+69^{k}+75^{k}+99^{k}=98^{k}+82^{k}+58^{k}+34^{k}+(-13)^{k}+(-16)^{k}+(-69)^{k}+(-75)^{k}+(-99)^{k}\quad }$

${\displaystyle (=0,41460,0,300563268,0,2456860981380,0,21423999539892228)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}}$

• Für ${\displaystyle n=10}$ ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt:

• ${\displaystyle A=\{\pm 99,\pm 100,\pm 188,\pm 301,\pm 313\}}$ und ${\displaystyle B=\{\pm 71,\pm 131,\pm 180,\pm 307,\pm 308\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle (-313)^{k}+(-301)^{k}+(-188)^{k}+(-100)^{k}+(-99)^{k}+99^{k}++100^{k}+188^{k}+301^{k}+313^{k}=(-308)^{k}+(-307)^{k}+(-180)^{k}+(-131)^{k}+(-71)^{k}+71^{k}+131^{k}+180^{k}+307^{k}+308^{k}\quad }$

${\displaystyle (=0,487430,0,38503448198,0,3460188595985990,0,322160072270221644038,0)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$

• Für ${\displaystyle n=12}$ ist unter anderem die folgende ideale symmetrische Lösung bekannt (die schon weiter oben angegeben ist):

• ${\displaystyle A=\{\pm 22,\pm 61,\pm 86,\pm 127,\pm 140,\pm 151\}}$ und ${\displaystyle B=\{\pm 35,\pm 47,\pm 94,\pm 121,\pm 146,\pm 148\}}$ bekannt. Es gilt also:

${\displaystyle (-151)^{k}+(-140)^{k}+(-127)^{k}+(-86)^{k}+(-61)^{k}+(-22)^{k}+22^{k}+61^{k}+86^{k}+127^{k}+140^{k}+151^{k}=(-148)^{k}+(-146)^{k}+(-121)^{k}+(-94)^{k}+(-47)^{k}+(-35)^{k}+35^{k}+47^{k}+94^{k}+121^{k}+146^{k}+148^{k}}$

${\displaystyle (=0,140262,0,2465942310,0,48071042984982,0,977438238856173510,0,20339203761061001581302,0)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}}$

• Es folgen ein paar bekannte ideale Lösungen für ${\displaystyle 2\leq n\leq 10}$ und ${\displaystyle n=12}$, die bezüglich irgendeinem ${\displaystyle T\not =0}$ symmetrisch sind:^[2]

Ideale Lösungen für ${\displaystyle 2\leq n\leq 10}$ und ${\displaystyle n=12}$, die bezüglich irgendeinem ${\displaystyle T\not =0}$ symmetrisch sind

• Für ${\displaystyle n=2}$ sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:

• ${\displaystyle A=\{0,2\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,1\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+2^{k}=1^{k}+1^{k}\quad (=2)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1\}}$

Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit geradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=1}$ symmetrisch.

• ${\displaystyle A=\{0,7\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,6\}}$ und ${\displaystyle C=\{2,5\}}$ und ${\displaystyle D=\{3,4\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+7^{k}=1^{k}+6^{k}=2^{k}+5^{k}=3^{k}+4^{k}\quad (=7)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1\}}$

Die vier Mengen ${\displaystyle A,B,C}$ und ${\displaystyle D}$ mit geradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=3,5}$ symmetrisch.

Diese Lösungen sind allerdings trivial und werden normalerweise nicht erwähnt.

• Für ${\displaystyle n=3}$ sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:

• ${\displaystyle A=\{0,3,3\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,1,4\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+3^{k}+3^{k}=1^{k}+1^{k}+4^{k}\quad (=6,18)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2\}}$

Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit ungeradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=2}$ symmetrisch.

• ${\displaystyle A=\{0,4,5\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,2,6\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+4^{k}+5^{k}=1^{k}+2^{k}+6^{k}\quad (=9,41)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2\}}$

Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit ungeradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=3}$ symmetrisch.

• Für ${\displaystyle n=4}$ sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:

• ${\displaystyle A=\{0,4,7,11\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,2,9,10\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+4^{k}+7^{k}+11^{k}=1^{k}+2^{k}+9^{k}+10^{k}\quad (=22,186,1738)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3\}}$

Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit geradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=5,5}$ symmetrisch.

• ${\displaystyle A=\{0,28,29,57\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,21,36,56\}}$ und ${\displaystyle C=\{2,18,39,55\}}$ und ${\displaystyle D=\{6,11,46,51\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}0^{k}+28^{k}+29^{k}+57^{k}&=&1^{k}+21^{k}+36^{k}+56^{k}\\&=&2^{k}+18^{k}+39^{k}+55^{k}\\&=&6^{k}+11^{k}+46^{k}+51^{k}\quad (=114,4874,231534)\quad \end{array}}}$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3\}}$

Die vier Mengen ${\displaystyle A,B,C}$ und ${\displaystyle D}$ mit geradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=28,5}$ symmetrisch.

• Für ${\displaystyle n=5}$ sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:

• ${\displaystyle A=\{0,4,8,16,17\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,2,10,14,18\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+4^{k}+8^{k}+16^{k}+17^{k}=1^{k}+2^{k}+10^{k}+14^{k}+18^{k}\quad (=45,625,9585,153409)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}$

Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit ungeradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=9}$ symmetrisch.

• ${\displaystyle A=\{0,6,8,17,19\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,3,12,14,20\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+6^{k}+8^{k}+17^{k}+19^{k}=1^{k}+3^{k}+12^{k}+14^{k}+20^{k}\quad (=50,750,12500,219234)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}$

Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit ungeradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=10}$ symmetrisch.

• Für ${\displaystyle n=6}$ sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:

• ${\displaystyle A=\{0,5,6,16,17,22\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,2,10,12,20,21\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+5^{k}+6^{k}+16^{k}+17^{k}+22^{k}=1^{k}+2^{k}+10^{k}+12^{k}+20^{k}+21^{k}}$

${\displaystyle (=66,1090,19998,385234,7632966)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5\}}$

Diese Lösung wurde von G. Tarry im Jahr 1912 entdeckt. Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit geradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=11}$ symmetrisch.

• ${\displaystyle A=\{0,23,25,71,73,96\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,16,33,63,80,95\}}$ und ${\displaystyle C=\{3,11,40,56,85,93\}}$ und ${\displaystyle D=\{5,8,45,51,88,91\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}0^{k}+23^{k}+25^{k}+71^{k}+73^{k}+96^{k}&=&1^{k}+16^{k}+33^{k}+63^{k}+80^{k}+95^{k}\\&=&3^{k}+11^{k}+40^{k}+56^{k}+85^{k}+93^{k}\\&=&5^{k}+8^{k}+45^{k}+51^{k}+88^{k}+91^{k}\end{array}}}$

${\displaystyle (=288,20740,1659456,139415044,12047229888)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5\}}$

Die vier Mengen ${\displaystyle A,B,C}$ und ${\displaystyle D}$ mit geradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=48}$ symmetrisch.

• Für ${\displaystyle n=7}$ sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:

• ${\displaystyle A=\{0,18,27,58,64,89,101\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,13,38,44,75,84,102\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+18^{k}+27^{k}+58^{k}+64^{k}+89^{k}+101^{k}=1^{k}+13^{k}+38^{k}+44^{k}+75^{k}+84^{k}+102^{k}}$

${\displaystyle (=357,26635,2218041,195532771,17840497017,1665711043555)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6\}}$

Diese Lösung wurde von Edward B. Escott im Jahr 1910 entdeckt. Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit ungeradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=51}$ symmetrisch.

• ${\displaystyle A=\{0,59,68,142,181,221,267\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,47,87,126,200,209,268\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+59^{k}+68^{k}+142^{k}+181^{k}+221^{k}+267^{k}=1^{k}+47^{k}+87^{k}+126^{k}+200^{k}+209^{k}+268^{k}}$

${\displaystyle (=938,181160,39140864,8980933556,2138277853208,522308090912180)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6\}}$

Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit ungeradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=134}$ symmetrisch.

• Für ${\displaystyle n=8}$ sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:

• ${\displaystyle A=\{0,4,9,23,27,41,46,50\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,2,11,20,30,39,48,49\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+4^{k}+9^{k}+23^{k}+27^{k}+41^{k}+46^{k}+50^{k}=1^{k}+2^{k}+11^{k}+20^{k}+30^{k}+39^{k}+48^{k}+49^{k}}$

${\displaystyle (=200,7652,323900,14371316,655164500,30385393052,1425691909100)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7\}}$

Diese Lösung wurde von G. Tarry im Jahr 1913 entdeckt. Sie ist die kleinste bekannte Lösung für ${\displaystyle n=8}$. Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit geradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=25}$ symmetrisch.

• ${\displaystyle A=\{0,9,10,27,41,58,59,68\}}$ und ${\displaystyle B=\{2,3,19,20,48,49,65,66\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+9^{k}+10^{k}+27^{k}+41^{k}+58^{k}+59^{k}+68^{k}=2^{k}+3^{k}+19^{k}+20^{k}+48^{k}+49^{k}+65^{k}+66^{k}}$

${\displaystyle (=272,14060,805256,48188996,2955578792,184255764980,11624853880856)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7\}}$

Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit geradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=34}$ symmetrisch.

• Für ${\displaystyle n=9}$ sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:

• ${\displaystyle A=\{0,24,30,83,86,133,157,181,197\}}$ und ${\displaystyle B=\{1,17,41,65,112,115,168,174,198\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+24^{k}+30^{k}+83^{k}+86^{k}+133^{k}+157^{k}+181^{k}+197^{k}=1^{k}+17^{k}+41^{k}+65^{k}+112^{k}+115^{k}+168^{k}+174^{k}+198^{k}}$

${\displaystyle (=891,129669,21046311,3603196437,636653887551,114856957032909,21028621784871591,3892687075226713317)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}}$

Diese Lösung wurde von A. Letac in den 1940er-Jahren entdeckt. Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit ungeradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=99}$ symmetrisch.

• ${\displaystyle A=\{0,26,42,124,166,237,293,335,343\}}$ und ${\displaystyle B=\{5,13,55,111,182,224,306,322,348\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+26^{k}+42^{k}+124^{k}+166^{k}+237^{k}+293^{k}+335^{k}+343^{k}=5^{k}+13^{k}+55^{k}+111^{k}+182^{k}+224^{k}+306^{k}+322^{k}+348^{k}}$

${\displaystyle (=1566,417264,122987376,37960068372,12029360182776,3876313262511444,1263346793895292776,415105309407183382212)\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}}$

Diese Lösung wurde ebenfalls von A. Letac in den 1940er-Jahren entdeckt. Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit ungeradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=174}$ symmetrisch.

• Für ${\displaystyle n=10}$ sind unter anderem die folgenden idealen Lösungen bekannt:

• ${\displaystyle A=\{0,3083,3301,11893,23314,24186,35607,44199,44417,47500\}}$ und ${\displaystyle B=\{12,2865,3519,11869,23738,23762,35631,43981,44635,47488\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+3083^{k}+3301^{k}+11893^{k}+23314^{k}+24186^{k}+35607^{k}+44199^{k}+44417^{k}+47500^{k}=12^{k}+2865^{k}+3519^{k}+11869^{k}+23738^{k}+23762^{k}+35631^{k}+43981^{k}+44635^{k}+47488^{k}}$

${\displaystyle (=237500,8740880070,354858017487500,\ldots )\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$

Diese Lösung wurde von A. Letac in den 1940er-Jahren entdeckt und war die erste bekannte. Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit geradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=23750}$ symmetrisch.

• ${\displaystyle A=\{0,12,125,213,214,412,413,501,614,626\}}$ und ${\displaystyle B=\{5,6,133,182,242,384,444,493,620,621\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+12^{k}+125^{k}+213^{k}+214^{k}+412^{k}+413^{k}+501^{k}+614^{k}+626^{k}=5^{k}+6^{k}+133^{k}+182^{k}+242^{k}+384^{k}+444^{k}+493^{k}+620^{k}+621^{k}}$

${\displaystyle (=3130,1467120,764339740,421000875828,\ldots )\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$

Diese kleinste bekannte Lösung wurde von Peter Borwein, Petr Lisonek und Colin Percival im Jahr 2000 entdeckt. Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit geradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=313}$ symmetrisch.

• Für ${\displaystyle n=12}$ ist die folgende ideale Lösung bekannt:

• ${\displaystyle A=\{0,11,24,65,90,129,173,212,237,278,291,302\}}$ und ${\displaystyle B=\{3,5,30,57,104,116,186,198,245,272,297,299\}}$. Es gilt also:

${\displaystyle 0^{k}+11^{k}+24^{k}+65^{k}+90^{k}+129^{k}+173^{k}+212^{k}+237^{k}+278^{k}+291^{k}+302^{k}=3^{k}+5^{k}+30^{k}+57^{k}+104^{k}+116^{k}+186^{k}+198^{k}+245^{k}+272^{k}+297^{k}+299^{k}\quad }$

${\displaystyle (=1812,413874,104854098,27893252694,\ldots )\quad }$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}}$

Diese Lösung wurde von Nuutti Kuosa, Jean-Charles Meyrignac und Chen Shuwen im Jahr 1999 entdeckt. Die beiden Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit geradem ${\displaystyle n}$ sind bezüglich ${\displaystyle T=151}$ symmetrisch.