Pontryagin-Produkt

In der Mathematik ist das Pontryagin-Produkt, das von Lev Pontryagin (1939) definiert wurde, ein Produkt auf den Homologie-Gruppen eines topologischen Raumes.

Um das Pontryagin-Produkt definieren zu können, benötigen wir eine Abbildung, die das direkte Produkt der i-ten und j-ten Homologie-Gruppe auf die (i+j)-te Homologie-Gruppe abbildet.

Diese erhält man für zwei topologische Räume ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$, sowie ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ zum Beispiel aus dem Satz von Künneth. Dieser liefert einen Gruppenhomomorphismus ${\textstyle \bigoplus _{i+j=n}H_{i}(X)\otimes H_{j}(Y)\to H_{n}(X\times Y)}$, welchen wir auf eine Komponente einschränken können, um einen Homomorphismus ${\textstyle H_{i}(X)\otimes H_{j}(Y)\to H_{i+j}(X\times Y)}$ zu erhalten.^[1]

Man kann die Abbildung auch explizit angeben. Dazu seinen ${\displaystyle f:\Delta ^{i}\to X}$ und ${\displaystyle g:\Delta ^{j}\to Y}$ stetige Abbildungen. Dann definieren wir die Produktabbildung ${\displaystyle f\times g:\Delta ^{i}\times \Delta ^{j}\to X\times Y}$. Indem man ${\displaystyle \Delta ^{i}\times \Delta ^{j}}$ in (i+j)-Simplizes unterteilt sieht man, dass ${\displaystyle f\times g}$ eine singuläre (i+j)-Kette definiert. Dadurch erhält man eine Abbildung ${\displaystyle C_{i}(X)\otimes C_{j}(Y)\to C_{i+j}(X\times Y)}$, die die gewünschte Abbildung auf Homologie-Gruppen induziert, weil mit ${\displaystyle \partial _{i}^{X}(f)=0}$ und ${\displaystyle \partial _{j}^{Y}(g)=0}$ auch ${\displaystyle \partial _{i+1}^{X\times Y}(f\times g)=0}$ gilt und ${\displaystyle f\times g}$ im Bild der Randabbildung liegt, falls eine der beiden Abbildungen im Bild der Randabbildung auf dem jeweiligen Kettenkomplex liegt.

Eine bis auf Homotopie unitäre Multiplikation auf einem Raum ${\displaystyle X}$ ist eine Abbildung ${\displaystyle \mu :X\times X\to X}$, sodass ein ${\displaystyle e\in X}$ mit ${\displaystyle \mu (e,e)=e}$ existiert und die Abbildungen ${\displaystyle \mu (e,{\text{-}}),\mu ({\text{-}},e):X\to X}$ homotop relativ ${\displaystyle e}$ zur Identität auf X sind.

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum zusammen mit einer assoziativen und bis auf Homotopie unitären Multiplikation ${\displaystyle \mu :X\times X\to X}$. Dann ist das Pontryagin-Produkt auf ${\textstyle H_{*}(X)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H_{n}(X)}$ die Komposition

${\displaystyle H_{i}(X)\otimes H_{j}(X)\to H_{i+j}(X\times X)\xrightarrow {\mu _{*}} H_{i+j}(X)}$.

Dieses Produkt definiert eine graduierte Ringstruktur auf ${\displaystyle H_{*}(X)}$.^[1]

Für einen punktierten topologischen Raum ${\displaystyle X}$ definiert die Verkettung von Schleifen eine assoziative und bis auf Homotopie unitäre Multiplikation auf dem Schleifenraum ${\displaystyle \Omega X}$. Damit ist das Pontryagin-Produkt auf ${\displaystyle \Omega X}$ wohldefiniert und macht ${\displaystyle H_{*}(\Omega X)}$ zu einem graduierten Ring.^[1]

Unter den Sphären kann man nur auf ${\displaystyle S^{0},S^{1},S^{3}\;{\text{und}}\;S^{7}}$ eine assoziative und bis auf Homotopie unitäre Multiplikation definieren, die jeweils von der Multiplikation auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \mathbb {H} }$ (Hamilton-Quaternionen), bzw. ${\displaystyle \mathbb {O} }$ (Cayley-Oktonionen) induziert wird. Also definiert das Pontryagin-Produkt eine graduierte Ringstruktur auf ${\displaystyle H_{*}(S^{0})\cong \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle H_{*}(S^{1})\cong H_{*}(S^{3})\cong H_{*}(S^{7})\cong \mathbb {Z} ^{2}}$.

Für einen punktierten topologischen Raum ${\displaystyle (X,e)}$ hat das James reduced product ${\textstyle J(X)=(\coprod _{n\in \mathbb {N} }X^{n})/(\forall k,n\in \mathbb {N} :\;(x_{1},\dots ,x_{k-1},e,x_{k+1},\dots x_{n})\sim (x_{1},\dots ,x_{k-1},x_{k+1},\dots x_{n}))}$ eine Monoid-Struktur, da die zugrunde liegende Menge das frei von ${\displaystyle X}$ erzeugte Monoid mit neutralem Element ${\displaystyle e}$ ist. Dann existiert das Pontryagin-Produkt auf ${\displaystyle J(X)}$ und wenn ${\displaystyle H_{*}(X)}$ ein ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul ist, ist ${\displaystyle H_{*}(J(X))}$ isomorph zur Tensoralgebra ${\displaystyle T({\tilde {H}}_{*}(X))=\bigoplus _{i\geq 0}{\tilde {H}}_{*}(X)^{\otimes n}}$.^[2]

• Cup-Produkt
• Cap-Produkt

• Hatcher, Allen (2001). Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79160-1.
• Pontryagin, Lev (1939). "Homologies in compact Lie groups". Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik). New Series. 6 (48): 389–422. MR 0001563
• Malkiewich, Cary (2023). "Spectra and stable homotopy theory (draft version, first 6 chapters)".

1. ↑ ^{a b c} Cary Malkiewich: Spectra and stable homotopy theory (draft version, first 6 chapters). New York August 2023, S. 33–34. 
2. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. Hrsg.: Cambridge University Press. Cambridge 2001, ISBN 0-521-79160-X, S. 288–289.