Ooguri-Vafa-Metrik

Die Ooguri-Vafa-Metrik ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine vierdimensionale Hyperkählermetrik. Benannt ist die Ooguri-Vafa-Metrik nach Hirosi Ooguri und Cumrun Vafa, welche diese im Jahr 1996 erstmals mithilfe des Gibbons-Hawking-Ansatzes beschrieben haben. Eine andere Konstruktion wurde von Davide Gaiotto, Gregory W. Moore und Andrew Neitzke im Jahr 2008 angegeben.

Die Ooguri-Vafa-Metrik ist definiert auf den vierdimensionalen Totalräumen von U(1)-Hauptfaserbündeln über offenen Teilmengen des dreidimensionalen euklidischen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.^[1] Insbesondere für den ganzen Raum ergibt sich ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times S^{1}}$.^[2]

Definiere den eliptischen Faser ${\displaystyle \tau (z)={\frac {1}{2\pi i}}\log(z)}$ mit ${\displaystyle \tau _{1}=\operatorname {Re} (\tau (z))}$ und ${\displaystyle \tau _{2}=\operatorname {Im} (\tau (z))}$ und sei ${\displaystyle \lambda }$ die String-Kopplungskonstante. Weiter definiere die skalierte Ortskoordinate

${\displaystyle \mathbf {y} =\left(x,{\frac {z}{\lambda }},{\frac {\bar {z}}{\lambda }}\right)}$.^[3]

Die Metrik hat bei Ooguri und Vafa die Form^[4]

${\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}[V^{-1}(dt-\mathbf {A} \cdot d\mathbf {y} )^{2}+Vd\mathbf {y} ^{2}]}$

wobei ${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{x},A_{z},A_{\bar {z}})}$ und

${\displaystyle A_{x}=-\tau _{1}={\frac {i}{4\pi }}\log \left({\frac {z}{\bar {z}}}\right),\quad A_{z}=0,\quad A_{\bar {z}}=0}$

und ${\displaystyle V}$ ein Potential ist, welches ausgehend von der Form ${\displaystyle V=\tau _{2}={\frac {1}{4\pi }}\log \left({\frac {1}{z{\bar {z}}}}\right)}$ modifiziert wird. ${\displaystyle V}$ kann man sich als elektromagnetisches Skalarpotential für eine Sammlung von Ladungen in 3-Dimensionen vorstellen.

An das Potential ${\displaystyle V}$ gibt es 5 Anforderungen:^[5]

• ${\displaystyle V}$ soll eine Funktion von nur ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle |z|}$ sein, also ${\displaystyle V(x,|z|)}$ für ${\displaystyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}}$.
• Damit die Metrik eine Hyperkählermetrik ist, müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein

${\displaystyle V^{-1}\Delta V=0,\quad {\text{und}}\quad \nabla V=\nabla \times \mathbf {A} }$

wobei der Differentialoperator ${\displaystyle \Delta }$ wie folgt definiert ist

${\displaystyle \Delta :=\partial _{x}^{2}+4\lambda ^{2}\partial _{z}{\bar {\partial }}_{\bar {z}}.}$

• Wenn ${\displaystyle |z|\to \infty }$ dann erhält man das klassische oben definierte Potential

${\displaystyle V(x,|z|)\to {\frac {1}{4\pi }}\log \left({\frac {1}{z{\bar {z}}}}\right)}$

• Die Metrik soll periodisch, aber nicht translationsinvariant, in der ${\displaystyle x}$-Richtung mit Periode ${\displaystyle 1}$ sein, das heisst ${\displaystyle V(x,|z|)=V(x+1,|z|)}$.
• Die Singularitäten von ${\displaystyle V}$ können durch eine geeignete Koordinatentransformation entfernt werden können.

Es existiert eine eindeutige Lösung, welche all diese Bedingungen erfüllt^[6]

${\displaystyle V(x,|z|)={\frac {1}{4\pi }}\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {1}{\sqrt {(x-n)^{2}+z{\bar {z}}/\lambda ^{2}}}}-{\frac {1}{|n|}}\right)+C}$

für eine Konstante ${\displaystyle C}$. Durch die Poissonsche Summenformel ergibt sich

${\displaystyle V(x,|z|)={\frac {1}{4\pi }}\log \left({\frac {\mu ^{2}}{z{\bar {z}}}}\right)+\sum \limits _{m\neq 0}{\frac {1}{2\pi }}e^{2\pi imx}K_{0}\left(2\pi {\frac {|mz|}{\lambda }}\right)}$

wobei ${\displaystyle \mu }$ eine Konstante ist und ${\displaystyle K_{0}}$ die modifizierte Besselfunktion.

• Hirosi Ooguri und Cumrun Vafa: Summing up D-Instantons. In: Physical Review Letters. 77. Jahrgang, 12. August 1996, S. 3296–3298, arxiv:hep-th/9608079 (englisch). 
• Davide Gaiotto, Gregory W. Moore, Andrew Neitzke: Four-dimensional wall-crossing via three-dimensional field theory. In: Communications in Mathematical Physics. 299. Jahrgang, 29. Juli 2008, S. 163–224, arxiv:0807.4723 (englisch). 
• Kwokwai Chan: The Ooguri-Vafa metric, holomorphic discs and wall-crossing. In: Mathematical Research Letters. 17. Jahrgang, Nr. 3, 19. September 2009, S. 401–414, arxiv:0909.3608 (englisch). 
• Lorenzo Foscolo: Notes on the Ooguri-Vafa metric. Abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 

1. ↑ Lorenzo, S. 1
2. ↑ Gaiotto, Moore & Neitzke 2008, S. 7
3. ↑ Hirosi Ooguri und Cumrun Vafa: Summing up D-Instantons. In: American Physical Society (Hrsg.): Phys. Rev. Lett. Band 77, Nr. 16, 1996, S. 3, doi:10.1103/PhysRevLett.77.3296, arxiv:hep-th/9608079 (aps.org). 
4. ↑ Hirosi Ooguri und Cumrun Vafa: Summing up D-Instantons. In: American Physical Society (Hrsg.): Phys. Rev. Lett. Band 77, Nr. 16, 1996, S. 4, doi:10.1103/PhysRevLett.77.3296, arxiv:hep-th/9608079 (aps.org). 
5. ↑ Hirosi Ooguri und Cumrun Vafa: Summing up D-Instantons. In: American Physical Society (Hrsg.): Phys. Rev. Lett. Band 77, Nr. 16, 1996, S. 4–5, doi:10.1103/PhysRevLett.77.3296, arxiv:hep-th/9608079 (aps.org). 
6. ↑ Hirosi Ooguri und Cumrun Vafa: Summing up D-Instantons. In: American Physical Society (Hrsg.): Phys. Rev. Lett. Band 77, Nr. 16, 1996, S. 5, doi:10.1103/PhysRevLett.77.3296, arxiv:hep-th/9608079 (aps.org).