Gauß-Fabersche Ungleichung

Im mathematischen Gebiet der Analysis ist die Gauß-Fabersche Ungleichung (englisch Gauss-Faber’s inequality) eine Integralungleichung, die auf eine Publikation des Mathematikers Georg Faber aus dem Jahre 1922 zurückgeht. Darin greift dieser die von Carl Friedrich Gauß zur Methode der kleinsten Quadrate vorgelegten Abhandlungen über die Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae auf und formuliert eine Ungleichung, welche die Abschätzung von uneigentlichen Integralen für gewisse Produkte integrierbarer Funktionen erlaubt.^[1]

Fabers Arbeit gab Anlass zu einigen Folgearbeiten, in denen die Ungleichung erweitert und verschärft wurde.

Sie lässt sich angeben wie folgt:^[2]

Gegeben seien im Körper der reellen Zahlen das unendliche Intervall ${\displaystyle J={[0,\infty [}\subset \mathbb {R} }$ und darauf eine monoton fallende Funktion

${\displaystyle \Phi \;\colon J\to \mathbb {R} }$ .

Hier möge für jede reelle Zahl ${\displaystyle p\in J}$ das uneigentliches Integral

${\displaystyle K_{p}:={\int _{0}^{\infty }{x^{p}\Phi (x)}\,dx}}$

existieren und dabei soll

${\displaystyle K_{0}=1}$

sein.

Dann gilt für ${\displaystyle p,q\in J}$ mit ${\displaystyle p>q}$ stets die Ungleichung

${\displaystyle \left((p+1)K_{p}\right)^{\frac {1}{p}}\geq \left((q+1)K_{q}\right)^{\frac {1}{q}}}$ .

• Georg Faber: Bemerkungen zu Sätzen der Gaußschen theoria combinationis observationum. In: Bayerische Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse. Sitzungsberichte. 1922, S. 7–21 (Eintrag 48.0288.02 (zbMATH Open) – PDF). 
• Fujiwara Matsusaburō: Über Gauss-Fabersche Ungleichung für Integrale. In: Japanese Journal of Mathematics. Band 2, 1926, S. 197–200 (Eintrag 52.0232.05 (zbMATH Open)). 
• Fujiwara Matsusaburō: On Gauss-Faber’s inequality for integrals. In: Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan Tokyo, III. Serie. Band 8, 1926, S. 117 (Eintrag 52.0236.08 (zbMATH Open)). 
• Izumi Shin-ichi: Über die Gauß-Fabersche Ungleichung für Integrale. In: Japanese Journal of Mathematics. Band 4, 1927, S. 7–10 (Eintrag 53.0220.01 (zbMATH Open)). 
• Narumi Seimatsu: On a generalized Gauß-Faber’s inequality for integral. In: Japanese Journal of Mathematics. Band 4, 1927, S. 33–39 (Eintrag 53.0220.02 (zbMATH Open)). 
• Anton Börsch, Paul Simon (Hrsg.): Abhandlungen zur Methode der kleinsten Quadrate. In deutscher Sprache herausgegeben von A. Börsch und P. Simon. P. Stankiewicz Buchdruckerei, Berlin 1887, S. 134 ff., 208 ((Digitaldatei)). 

1. ↑ Georg Faber: Bemerkungen zu Sätzen der Gaußschen theoria combinationis observationum. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, 1922, S. 7–21.
2. ↑ Izumi Shin-ichi: Über die Gauß-Fabersche Ungleichung für Integrale. Japanese Journal of Mathematics, 1927, S. 7–10