Formelsammlung Arithmetik

• Buchstaben am Anfang des Alphabets ${\displaystyle (a,b,c,\ldots )}$ stehen für beliebige Zahlen.
• Buchstaben in der Mitte des Alphabets ${\displaystyle (i,j,m,n,\ldots )}$ stehen für natürliche Zahlen.
• Buchstaben am Ende des Alphabets ${\displaystyle (x,y,\ldots )}$ stehen für Variablen.
• Es gilt die Operatorrangfolge (Punktrechnung vor Strichrechnung): Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) binden stärker als die der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Rechenoperationen der dritten Stufe (Wurzelziehen und Potenzieren) stärker als die der zweiten Stufe.
• Es gilt die Klammerregel: Stehen Operationen in Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt. Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.

Addition

${\displaystyle a+b=c}$   (Summand + Summand = Summe)

Subtraktion

${\displaystyle a-b=c}$   (Minuend − Subtrahend = Differenz)

Multiplikation

${\displaystyle a\cdot b=c}$   (Faktor · Faktor = Produkt)

Division

${\displaystyle a:b=c}$   (Dividend : Divisor = Quotient)

Die Division durch null ist dabei nicht definiert.

${\displaystyle a+(b+c)=a+b+c}$

${\displaystyle a+(b-c)=a+b-c}$

${\displaystyle a-(b+c)=a-b-c}$

${\displaystyle a-(b-c)=a-b+c}$

Assoziativgesetze

${\displaystyle a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c}$

${\displaystyle a\cdot \left(b\cdot c\right)=\left(a\cdot b\right)\cdot c}$

Kommutativgesetze

${\displaystyle a+b=b+a\,}$

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

Distributivgesetze

${\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c}$

${\displaystyle \left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

Neutralität von ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle a+0=0+a=a}$

${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a}$

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}$

${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}$

Definition

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=a:b}$   (Zähler : Nenner)

Zähler und Nenner sind ganze Zahlen, wobei der Nenner nicht null sein darf.

Spezialfälle

• Stammbruch: ${\displaystyle a=1}$
• Echter Bruch: ${\displaystyle a<b}$
• Unechter Bruch: ${\displaystyle a>b}$
• Scheinbruch: ${\displaystyle a=b\cdot c}$ mit einer ganzen Zahl ${\displaystyle c}$
• Kehrbruch: ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ werden vertauscht

Vorzeichen

${\displaystyle {\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}=-{\frac {a}{b}}}$

${\displaystyle {\frac {-a}{-b}}={\frac {a}{b}}}$

Erweitern und Kürzen

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot c}}}$   für ${\displaystyle c\neq 0}$

Addition

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d+c\cdot b}{b\cdot d}}}$

Subtraktion

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d-c\cdot b}{b\cdot d}}}$

Multiplikation

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}}$

Division

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}}$

Definitionen

${\displaystyle p\,\%={\frac {p}{100}}}$   (Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert)

${\displaystyle p\,{}^{0\!}\!/\!_{00}={\frac {p}{1{\,}000}}}$   (Promillesatz = Promillewert : Grundwert)

Prozentsätze häufig benutzter Anteile

Anteil am Grundwert	${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{50}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{40}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{25}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{11}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$
Prozentsatz	1 %	2 %	2,5 %	4 %	5 %	6,25 %	≈6,67 %	≈8,33 %	≈9,09 %	10 %
Anteil am Grundwert	${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$
Prozentsatz	≈11,11 %	12,5 %	≈14,29 %	≈16,67 %	20 %	25 %	≈33,33 %	50 %	≈66,67 %	75 %

Definitionen

Natürlicher Exponent:

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\dotsm a} _{n\ \mathrm {Faktoren} }}$   (Potenz = Basis hoch Exponent)

Negativer Exponent:

${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$

Rationaler Exponent:

${\displaystyle x=a^{m/n}\;\Leftrightarrow \;x^{n}=a^{m}}$

Hierbei ist ${\displaystyle a}$ eine nichtnegative rationale Zahl und ${\displaystyle m,n}$ sind natürliche Zahlen.

Spezialfälle

${\displaystyle a^{0}=1}$   für ${\displaystyle a\neq 0}$, siehe Null hoch null

${\displaystyle 0^{n}=0}$   für ${\displaystyle n\neq 0}$

Potenzgesetze

${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}$

${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$

${\displaystyle ({a^{m}})^{n}=a^{m\cdot n}}$

${\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}}$

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}$

Definition und Rechenregeln können auf reelle Zahlen erweitert werden.

Definition

${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}\;\Leftrightarrow \;x^{n}=a}$   (n-te Wurzel, a heißt Radikand, n Wurzelexponent)

Hierbei ist ${\displaystyle a}$ eine nichtnegative reelle Zahl und ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl größer als eins

Spezialfälle

${\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt[{2}]{a}}}$   (Quadratwurzel)

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}$   (Kubikwurzel)

Wurzelgesetze

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}=a^{\frac {m}{n}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a\cdot b}}}$

${\displaystyle {{\sqrt[{n}]{a}} \over {\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{a \over b}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{m}]{a}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a^{n+m}}}}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a^{m-n}}}}$

Definition

${\displaystyle x=\log _{b}a\;\Leftrightarrow \;a=b^{x}}$   (Logarithmus der Zahl a zur Basis b)

Hierbei sind ${\displaystyle a,b}$ positive reelle Zahlen.

Spezialfälle

${\displaystyle \log _{2}a=\operatorname {lb} a}$   (binärer Logarithmus)

${\displaystyle \log _{e}a=\ln a}$   (natürlicher Logarithmus)

${\displaystyle \log _{10}a=\lg a}$   (dekadischer Logarithmus)

${\displaystyle \log _{b}1=0}$

${\displaystyle \log _{b}b=1}$

Logarithmengesetze

${\displaystyle \log _{b}(a\cdot c)=\log _{b}a+\log _{b}c}$

${\displaystyle \log _{b}\left({\frac {a}{c}}\right)=\log _{b}a-\log _{b}c}$

${\displaystyle \log _{b}\left(a^{c}\right)=c\cdot \log _{b}a}$

${\displaystyle \log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}}$

Definition

${\displaystyle |a|={\begin{cases}\;\;\,a&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad a>0\\\;\;\,0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad a=0\\-a&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad a<0\\\end{cases}}}$

Eigenschaften

${\displaystyle |a|=0\;\Leftrightarrow \;a=0}$

${\displaystyle |a\cdot b|=|a|\cdot |b|}$

${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$   (Dreiecksungleichung)

Definition

${\displaystyle \operatorname {sgn}(a)={\begin{cases}\;\;\,1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad a>0\\\;\;\,0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad a=0\\-1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad a<0\\\end{cases}}}$

Eigenschaften

${\displaystyle \operatorname {sgn}(a)={\frac {a}{|a|}}}$   für ${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle \operatorname {sgn} |a|=|\operatorname {sgn} a|}$

${\displaystyle \operatorname {sgn}(a\cdot b)=\operatorname {sgn}(a)\cdot \operatorname {sgn}(b)}$

Definitionen

${\displaystyle \lfloor a\rfloor =\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq a\}}$   (Abrundung)

${\displaystyle \lceil a\rceil =\min\{k\in \mathbb {Z} \mid k\geq a\}}$   (Aufrundung)

Eigenschaften

${\displaystyle {\bigl \lfloor }\lfloor a\rfloor {\bigr \rfloor }={\bigl \lceil }\lfloor a\rfloor {\bigr \rceil }=\lfloor a\rfloor }$

${\displaystyle {\bigl \lceil }\lceil a\rceil {\bigr \rceil }={\bigl \lfloor }\lceil a\rceil {\bigr \rfloor }=\lceil a\rceil }$

${\displaystyle \lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor \leq \lfloor a+b\rfloor \leq \lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor +1}$

${\displaystyle \lceil a\rceil +\lceil b\rceil \geq \lceil a+b\rceil \geq \lceil a\rceil +\lceil b\rceil -1}$

Lösen von Gleichungen

${\displaystyle a=b\;\Leftrightarrow \;b=a}$

${\displaystyle a=b\;\Leftrightarrow \;a+c=b+c}$

${\displaystyle a=b\;\Leftrightarrow \;a-c=b-c}$

${\displaystyle a=b\;\Leftrightarrow \;a\cdot c=b\cdot c}$   für ${\displaystyle c\neq 0}$

${\displaystyle a=b\;\Leftrightarrow \;a:c=b:c}$   für ${\displaystyle c\neq 0}$

${\displaystyle a=b\;\Leftrightarrow \;f(a)=f(b)}$   für jede bijektive Funktion ${\displaystyle f}$

Allgemeine Form

${\displaystyle a\cdot x=b}$

Lösungen

${\displaystyle x={\frac {b}{a}}}$   falls ${\displaystyle a\neq 0}$

keine Lösung falls ${\displaystyle a=0,b\neq 0}$

unendlich viele Lösungen falls ${\displaystyle a=0,b=0}$

Allgemeine Form

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$   mit ${\displaystyle a\neq 0}$

Diskriminante

${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$

Lösungen

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$   falls ${\displaystyle D>0}$

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$   falls ${\displaystyle D=0}$

keine reelle Lösung falls ${\displaystyle D<0}$

Quadratische Ergänzung

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)}$

p-q-Form

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$

Diskriminante

${\displaystyle D={\frac {p^{2}}{4}}-q}$

Lösungen

${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}}$   falls ${\displaystyle D>0}$

${\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}}$   falls ${\displaystyle D=0}$

keine reelle Lösung falls ${\displaystyle D<0}$

Satz von Vieta

${\displaystyle p=-(x_{1}+x_{2})}$

${\displaystyle q=x_{1}\cdot x_{2}}$

Allgemeine Form

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}=0}$

Lösungen

${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ als komplexe Lösungen, nicht notwendigerweise verschieden (Fundamentalsatz der Algebra)

Zerlegung in Linearfaktoren

${\displaystyle a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\dotsm (x-x_{n})=0}$

Polynomdivision

${\displaystyle p(x)=s(x)q(x)+r(x)}$   wobei ${\displaystyle \operatorname {grad} p\geq \operatorname {grad} q}$

${\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}=s(x)+{\frac {r(x)}{q(x)}}}$   wobei ${\displaystyle \operatorname {grad} q\geq 0}$

Lösen von Ungleichungen

${\displaystyle a<b\;\Leftrightarrow \;b>a}$

${\displaystyle a<b\;\Leftrightarrow \;a+c<b+c}$

${\displaystyle a<b\;\Leftrightarrow \;a-c<b-c}$

${\displaystyle a<b\;\Leftrightarrow \;{\begin{cases}a\cdot c<b\cdot c&{\text{falls}}~c>0\\a\cdot c>b\cdot c&{\text{falls}}~c<0\end{cases}}}$

${\displaystyle a<b\;\Leftrightarrow \;{\begin{cases}a:c<b:c&{\text{falls}}~c>0\\a:c>b:c&{\text{falls}}~c<0\end{cases}}}$

${\displaystyle a<b\;\Leftrightarrow \;{\begin{cases}f(a)<f(b)&{\text{falls}}~f~{\text{bijektiv streng monoton steigend ist}}\\f(a)>f(b)&{\text{falls}}~f~{\text{bijektiv streng monoton fallend ist}}\end{cases}}}$

Die Umformungsregeln gelten analog auch für ${\displaystyle \leq ,\geq }$.

Dreiecksungleichung

${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$   für alle ${\displaystyle a,b}$

Bernoullische Ungleichung

${\displaystyle (1+a)^{n}\geq 1+a\cdot n}$   für ${\displaystyle a\geq -1}$ und ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

Youngsche Ungleichung

${\displaystyle a\cdot b\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}$   für ${\displaystyle a,b\geq 0}$ und ${\displaystyle p,q>1}$ mit ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}\leq {\frac {1}{n}}(a_{1}+\ldots +a_{n})}$   für ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\geq 0}$ und ${\displaystyle n=2,3,\ldots }$

Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}}$   für ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}>0}$ und ${\displaystyle n=2,3,\ldots }$

Darstellung

${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }$   mit Realteil ${\displaystyle a}$, Imaginärteil ${\displaystyle b}$ und der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$

${\displaystyle {\bar {z}}=a-b\cdot \mathrm {i} }$   (Komplexe Konjugation)

Potenzen der imaginären Einheit

${\displaystyle \mathrm {i} ^{0}=1}$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{1}=\mathrm {i} }$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{3}=-\mathrm {i} }$

Allgemein für ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle \mathrm {i} ^{4n}=1}$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{4n+1}=\mathrm {i} }$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{4n+3}=-\mathrm {i} }$

Arithmetische Operationen

${\displaystyle (a+\mathrm {i} b)+(c+\mathrm {i} d)=(a+c)+\mathrm {i} (b+d)}$

${\displaystyle (a+\mathrm {i} b)-(c+\mathrm {i} d)=(a-c)+\mathrm {i} (b-d)}$

${\displaystyle (a+\mathrm {i} b)\cdot (c+\mathrm {i} d)=ac-bd+\mathrm {i} (ad+bc)}$

${\displaystyle (a+\mathrm {i} b):(c+\mathrm {i} d)={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\mathrm {i} \,{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}}$   für ${\displaystyle c^{2}+d^{2}\neq 0}$

Darstellung

${\displaystyle z=r\cdot (\cos(\varphi )+\mathrm {i} \cdot \sin(\varphi ))}$   mit dem Betrag ${\displaystyle r}$ und dem Argument ${\displaystyle \varphi }$

Betrag

${\displaystyle r=|z|={\sqrt {z\cdot {\bar {z}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Argument

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a>0\\\arctan {\frac {b}{a}}+\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a<0,b\geq 0\\\arctan {\frac {b}{a}}-\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a<0,b<0\\\pi /2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a=0,b>0\\-\pi /2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a=0,b<0\end{cases}}}$

oder

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arccos {\frac {a}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ b\geq 0\\\arccos \left(-{\frac {a}{r}}\right)-\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ b<0\end{cases}}}$

Darstellung

${\displaystyle z=r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi }}$   mit der eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }=\cos \varphi +\mathrm {i} \,\sin \varphi }$   (Eulersche Formel)

Umrechnungsformeln

${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {e^{\mathrm {i} \varphi }-e^{-\mathrm {i} \varphi }}{2\mathrm {i} }}}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {e^{\mathrm {i} \varphi }+e^{-\mathrm {i} \varphi }}{2}}}$

Arithmetische Operationen

${\displaystyle (r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi })\pm (s\cdot e^{\mathrm {i} \psi })={\sqrt {r^{2}+s^{2}\pm 2rs\cos(\varphi -\psi )}}\cdot e^{\mathrm {i} \operatorname {atan2} \left(r\sin \varphi \pm s\sin \psi ,r\cos \varphi \pm s\cos \psi \right)}}$

${\displaystyle (r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi })\cdot (s\cdot e^{\mathrm {i} \psi })=(r\cdot s)\cdot e^{\mathrm {i} (\varphi +\psi )}}$

${\displaystyle (r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi }):(s\cdot e^{\mathrm {i} \psi })=(r:s)\cdot e^{\mathrm {i} (\varphi -\psi )}}$

Potenzen

${\displaystyle (r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi })^{n}=r^{n}\cdot e^{\mathrm {i} n\varphi }}$

Wurzeln

${\displaystyle x^{n}=1\,\Leftrightarrow \,x=e^{2\pi \mathrm {i} k/n}}$   für ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}$   (Einheitswurzeln)

${\displaystyle x^{n}=z\,\Leftrightarrow \,x={\sqrt[{n}]{|z|}}\cdot e^{(\mathrm {i} \arg(z)+2\pi \mathrm {i} k)/n}}$   für ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=n\cdot c}$

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}c=(n-m+1)\cdot c}$

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}c\cdot a_{i}=c\cdot \sum _{i=m}^{n}a_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=m}^{n}a_{i}+\sum _{i=m}^{n}b_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}a_{i}=\sum _{i=m-r}^{n-r}a_{i+r}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i-1})=a_{n}-a_{0}}$   (Teleskopsumme)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}$   (Gaußsche Summenformel)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}k^{i}={\frac {1-k^{n}}{1-k}}}$

Eine Version, die für alle Halbringe geeignet ist:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\\sum _{i=0}^{n-1}k^{i}&k^{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\1&k\end{pmatrix}}^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}}$

Für weitere Potenzsummen siehe Faulhabersche Formel.

Binomischer Lehrsatz

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$

Multinomialtheorem

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}\right)^{n}=\sum _{n_{1}+\ldots +n_{k}=n}{n \choose n_{1},\ldots ,n_{k}}\,\cdot \,a_{1}^{n_{1}}\cdot a_{2}^{n_{2}}\cdots a_{k}^{n_{k}}}$

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot b_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)}$   für alle ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ und ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$

Tschebyscheff-Ungleichungen

${\displaystyle n\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot b_{i}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}\right)}$   für alle ${\displaystyle a_{1}\geq \ldots \geq a_{n}}$ und ${\displaystyle b_{1}\geq \ldots \geq b_{n}}$

${\displaystyle n\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot b_{i}\right)\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}\right)}$   für alle ${\displaystyle a_{1}\geq \ldots \geq a_{n}}$ und ${\displaystyle b_{1}\leq \ldots \leq b_{n}}$

Minkowski-Ungleichung

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$   für alle ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ und ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$ sowie ${\displaystyle p\geq 1}$

Hölder-Ungleichung

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}\cdot b_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}\right)^{1/q}}$   für alle ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ und ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$ sowie ${\displaystyle p,q\geq 1}$ mit ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$

Jensensche Ungleichung

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot b_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot f(b_{i})}$   für jede konvexe Funktion ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\geq 0}$ mit ${\displaystyle a_{1}+\ldots +a_{n}=1}$ und alle ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$

• Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik. 7. Auflage. Harri Deutsch, 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9.