Determinantenbündel

Das Determinantenbündel ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Konstruktion, welche sämtlichen Vektorbündeln über parakompakten Räumen ein Linienbündel zuordnet. Dabei stammt die Benennung von der Verwendung der Determinante auf den klassifizierenden Räumen. Determinantenbündel treten etwa natürlich bei vierdimensionalen Spin^c-Strukturen auf und sind daher von zentraler Bedeutung für die Seiberg-Witten-Theorie.

Sei ${\displaystyle X}$ ein parakompakter Raum, dann gibt es eine Bijektion ${\displaystyle [X,\operatorname {BO} (n)]\xrightarrow {\cong } \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{n}(X),[f]\mapsto f^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n}}$ mit dem reellen universellen Vektorbündel ${\displaystyle \gamma _{\mathbb {R} }^{n}}$.^[1] Die reelle Determinante ${\displaystyle \det \colon \operatorname {O} (n)\rightarrow \operatorname {O} (1)}$ ist ein Gruppenhomomorphismus und induziert daher eine stetige Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {B}}\det \colon \operatorname {BO} (n)\rightarrow \operatorname {BO} (1)\cong \mathbb {R} P^{\infty }}$ auf dem klassifizierenden Raum von O(n). Nun gibt es durch Nachkomposition eine Abbildung:

${\displaystyle \det \colon \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{n}(X)\cong [X,\operatorname {BO} (n)]\xrightarrow {{\mathcal {B}}\det _{*}} [X,\operatorname {BO} (1)]\cong \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{1}(X).}$

Sei ${\displaystyle X}$ ein parakompakter Raum, dann gibt es eine Bijektion ${\displaystyle [X,\operatorname {BU} (n)]\xrightarrow {\cong } \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }^{n}(X),[f]\mapsto f^{*}\gamma _{\mathbb {C} }^{n}}$ mit dem komplexen universellen Vektorbündel ${\displaystyle \gamma _{\mathbb {C} }^{n}}$.^[1] Die komplexe Determinante ${\displaystyle \det \colon \operatorname {U} (n)\rightarrow \operatorname {U} (1)}$ ist ein Gruppenhomomorphismus und induziert daher eine stetige Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {B}}\det \colon \operatorname {BU} (n)\rightarrow \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }}$ auf dem klassifizierenden Raum von U(n). Nun gibt es durch Nachkomposition eine Abbildung:

${\displaystyle \det \colon \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }^{n}(X)\cong [X,\operatorname {BU} (n)]\xrightarrow {{\mathcal {B}}\det _{*}} [X,\operatorname {BU} (1)]\cong \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }^{1}(X).}$

Alternativ kann das Determinantenbündel auch als die letzte nichttriviale äußere Potenz definiert werden. Ist ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$ ein Vektorbündel, dann ist:^[2]

${\displaystyle \det(E):=\Lambda ^{\operatorname {rk} (E)}(E).}$

• Das reelle Determinantenbündel erhält die erste Stiefel-Whitney-Klasse, welches auf reellen Linienbündeln über topologischen Räumen mit dem Homotopietyp eines Zellkomplexes ein Gruppenisomorphismus ist.^[3] Da die erste Stiefel-Whitney-Klasse in diesem Fall genau dann verschwindet, wenn ein reelles Linienbündel orientierbar ist,^[4] sind beide Bedingungen dann äquivalent zu einem trivialen Determinantenbündel.^[5]
• Das komplexe Determinantenbündel erhält die erste Chern-Klasse, welches auf komplexen Linienbündeln über topologischen Räumen mit dem Homotopietyp eines Zellkomplexes ein Gruppenisomorphismus ist.^[3]
• Das zurückgezogene Vektorbündel vertauscht mit dem Determinantenbündel. Für eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ zwischen parakompakten Räumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ sowie ein Vektorbündel ${\displaystyle E\twoheadrightarrow Y}$ gilt:

  ${\displaystyle \det(f^{*}E)\cong f^{*}\det(E).}$

Beweis: Sei ${\displaystyle E\twoheadrightarrow Y}$ ein reelles Vektorbündel und ${\displaystyle g\colon Y\rightarrow \operatorname {BO} (n)}$ dessen klassifizierende Abbildung mit ${\displaystyle E\cong g^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n}}$, dann ist:

${\displaystyle \det(f^{*}E)\cong \det(f^{*}g^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n})\cong \det((g\circ f)^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n})\cong ({\mathcal {B}}\det \circ g\circ f)^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{1}\cong f^{*}({\mathcal {B}}\det \circ g)^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{1}\cong f^{*}\det(g^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n})\cong f^{*}\det(E).}$

Völlig analog ist der Beweis für komplexe Vektorbündel.

• Für Vektorbündel ${\displaystyle E,F\twoheadrightarrow X}$ (mit dem gleichen Körper als Faser) gilt:

  ${\displaystyle \det(E\otimes F)\cong \det(E)^{\operatorname {rk} (F)}\otimes \det(F)^{\operatorname {rk} (E)}.}$

• determinant line bundle auf nLab (englisch)

• Raoul Bott und Loring W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology (= Graduate Texts in Mathematics. Band 82). Springer, New York City 1982, ISBN 978-1-4757-3951-0, doi:10.1007/978-1-4757-3951-0 (englisch, springer.com). 
• Daniel Freed: On determinant line bundles. 10. März 1987; abgerufen im 1. Januar 1. 
• Liviu I. Nicolaescu: Notes on Seiberg-Witten Theory (= Graduate Studies in Mathematics. Band 28). American Mathematical Society, University of Notre Dame 2000, ISBN 978-0-8218-2145-9, doi:10.1090/gsm/028 (englisch, nd.edu [PDF]). 
• Allen Hatcher: Vector Bundles and K-Theory. November 2017 (englisch, cornell.edu [PDF; 1,6 MB]). 

1. ↑ ^{a b} Hatcher 2017, Theorem 1.16.
2. ↑ Nicolaescu 2000, Exercise 1.1.4.
3. ↑ ^{a b} Hatcher 2017, Proposition 3.10.
4. ↑ Hatcher 2017, Proposition 3.11.
5. ↑ Bott & Tu 1982, Proposition 11.4.