Blätterungskohomologie

In der Mathematik ist die Blätterungskohomologie eine Kohomologietheorie zur Beschreibung von Blätterungen.

Sie ist eine Modifikation der De-Rham-Kohomologie, bei der die Differentialformen und Differentiale nur entlang von Blättern betrachtet werden. Sie hat eine im Vergleich zur De-Rham-Kohomologie sehr viel komplexere Struktur, zum Beispiel sind die Kohomologiegruppen auch bei kompakten Mannigfaltigkeiten oft unendlich-dimensional.

Sei ${\displaystyle M}$ eine glatte ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine ${\displaystyle C^{r}}$-Blätterung der Kodimension ${\displaystyle q=n-p}$ mit ${\displaystyle 1\leq r\leq \infty }$ und ${\displaystyle 0\leq p\leq n}$. Man bezeichnet mit ${\displaystyle T{\mathcal {F}}}$ das zu den Blättern von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ tangentiale Unterbündel des Tangentialbündels ${\displaystyle TM}$ und mit ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {F}}}$ das duale Bündel.

Der Raum der Blätterungsdifferentialformen (d. h. der entlang von Blättern definierten Differentialformen) ist

${\displaystyle \Omega ^{*}(M,{\mathcal {F}}):=\Gamma ^{r}(M,\Lambda ^{*}(T^{*}{\mathcal {F}}))}$,

also der Raum der ${\displaystyle C^{r}}$-Schnitte in der äußeren Algebra von ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {F}}}$. Äquivalent ist

${\displaystyle \Omega ^{*}(M,{\mathcal {F}})=\Omega ^{*}(M)/I^{*}({\mathcal {F}})}$

mit

${\displaystyle I^{*}({\mathcal {F}}):=\left\{\omega \in \Omega ^{k}(M)\vert \omega (v)=0\ \forall \ v\in \Gamma ^{r}(M,\Lambda ^{k}(T{\mathcal {F}}))\right\}}$.

Nach dem Satz von Frobenius bildet die äußere Ableitung ${\displaystyle I^{*}({\mathcal {F}})}$ auf sich ab und definiert somit ein wohldefiniertes Differential

${\displaystyle d^{*}\colon \Omega ^{*}(M,{\mathcal {F}})\to \Omega ^{*+1}(M,{\mathcal {F}})}$.

Lokal kann man in einer Blätterungskarte eine Blätterungsdifferentialform als

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}}f(x_{1},\ldots ,x_{p},y_{1},\ldots ,y_{q})dx_{i_{1}}\vee \ldots \vee dx_{i_{k}}}$

beschreiben, wobei ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{p}}$ die lokalen Koordinaten in Richtung der Blätter und ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{q}}$ die Koordinaten in transversaler Richtung sind. In solchen Koordinaten beschreibt man das Differential durch

${\displaystyle d\omega =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}}\sum _{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x_{1},\ldots ,x_{p},y_{1},\ldots ,y_{q})dx_{i_{1}}\vee \ldots \vee dx_{i_{k}}}$.

Die Blätterungskohomologie ist dann definiert als

${\displaystyle H^{*}(M,{\mathcal {F}}):=\operatorname {Kern} (d^{*})/\operatorname {Bild} (d^{*+1})}$.

Die Kohomologiegruppen sind Frechet-Räume, die im Allgemeinen nicht hausdorffsch sein müssen. Man betrachtet deshalb auch die reduzierte Blätterungskohomologie

${\displaystyle {\overline {H}}^{*}(M,{\mathcal {F}}):=\operatorname {Kern} (d^{*})/{\overline {\operatorname {Bild} (d^{*+1})}}}$.

• Für die Blätterung des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ durch Punkte ist ${\displaystyle H^{0}(\mathbb {R} ,{\mathcal {F}})=C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle H^{k}(\mathbb {R} ,{\mathcal {F}})=0}$ für ${\displaystyle k>0}$.
• Für die von einer Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$ induzierte Blätterung eines lokal homogenen Raums ${\displaystyle M=\Gamma \backslash G}$ ist ${\displaystyle H^{*}(M,{\mathcal {F}})=H^{*}({\mathfrak {h}},C^{\infty }(M))}$, wobei ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ die Lie-Algebra von ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {h}},C^{\infty }(M))}$ ihrer Lie-Algebren-Kohomologie mit Koeffizienten in ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ist.

• Die Blätterungskohomologie ist invariant unter tangentialen Homotopien.
• Es gibt eine natürliche Mayer-Vietoris-Sequenz für die Blätterungskohomologie.
• Für Riemannsche Blätterungen lässt sich die Blätterungskohomologie mittels transversaler Hodge-Theorie einer bündelartigen Metrik berechnen.

• Basisartige Kohomologie

• B. Mümken: A coincidence formula for foliated manifolds, Dissertation Universität Münster, 2002.
• C. Peters: Blätterung von Nilmannigfaltigkeiten, Dissertation Universität Düsseldorf, 2003.
• S. Maßberg: Die Blätterungskohomologie von Knotenblätterungen der Sphären, Dissertation Universität Düsseldorf, 2008.