Formel von Klingenstierna

Die Formel von Klingenstierna ist eine mathematische Formel, die dem Gebiet der Analysis zuzurechnen ist und die von dem schwedischen Mathematiker und Physiker Samuel Klingenstierna (1698 – 1765) um das Jahr 1730 gefunden wurde. Die Formel beinhaltet eine auf der Arkustangensfunktion basierende Darstellung der Kreiszahl ${\displaystyle \pi =3{,}1415926535\,\dots \,}$. Die daraus abgeleitete Arkustangensreihe der Kreiszahl war 1957 Grundlage einer der ersten Rekordberechnungen von Dezimalstellen von ${\displaystyle \pi }$ mit Hilfe von Computern. Die Formel ist eines von vielen Beispielen für die Darstellung der Kreiszahl mithilfe von arctan-Formeln.^[1][2]

Die Formel gibt die folgende Gleichung:^[1][2]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=8\cdot \arctan \left({\frac {1}{10}}\right)-\arctan \left({\frac {1}{239}}\right)-4\cdot \arctan \left({\frac {1}{515}}\right)\,}$.

Die einfachste dieser klassischen arctan-Formeln geht auf Euler zurück:^[2]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$

Daneben sehr bekannt ist jene Formel, die von John Machin schon im Jahre 1706 gefunden wurde, nämlich:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\cdot \arctan \left({\frac {1}{5}}\right)-\arctan \left({\frac {1}{239}}\right)}$ ,

und mit der er die Berechnung von 100 Dezimalstellen der Kreiszahl durchführte.

Es sind dann noch zwei weitere Formeln von Euler und Gauß nennenswert.^[3][4] Die erste dieser beiden Formeln verwandte Euler im Jahre 1779, um in weniger als einer Stunde 20 Dezimalstellen genau zu berechnen:^[5]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\cdot \arctan \left({\frac {1}{7}}\right)+2\cdot \arctan \left({\frac {3}{79}}\right)\,}$ .

Auf Gauß geht eine arctan-Formel zurück, mit der man in der Vor-Computerära Berechnungen der Kreiszahl sogar mit bis zu 1000 genauen Dezimalstellen ausführen konnte. Sie lautet:^[6]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\cdot \arctan \left({\frac {1}{18}}\right)+8\cdot \arctan \left({\frac {1}{57}}\right)-5\cdot \arctan \left({\frac {1}{239}}\right)\,}$.

Bekannt ist auch die folgende arctan-Formel, mit der Rechenkünstler Dahse (1824–1861) im Jahre 1844^{[A 1]} die Kreiszahl auf (mindestens) 200 Dezimalstellen genau berechnete:^[7][8]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{8}}\right)\,}$.^{[A 2]}

Besondere Erwähnung verdient schließlich noch eine ganz anders geartete klassische arctan-Formel, durch die sogar gezeigt werden kann, dass es eine Verbindung zwischen der Kreiszahl und den berühmten Fibonacci-Zahlen gibt. Es ist die folgende:^[9]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\arctan \left({\frac {1}{f_{2n+1}}}\right)\right)=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{13}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{34}}\right)+\ldots \,}$ .

• Jörg Arndt, Christoph Haenel: Π [Pi]. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8 (mit CD-ROM, 1. Auflage. 1998 – ohne CD-ROM, ISBN 3-540-63419-3). 
• Jonathan Borwein, Peter Borwein: Pi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Reprint of the 1987 original (= Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts). 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York 1998, ISBN 0-471-31515-X (englisch). 
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Dritter Band. Inp bis Mon (= Lexikon der Mathematik: in sechs Bänden. Band 3). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2001, ISBN 3-8274-0435-5, S. 119. 

1. ↑ ^{a b} Lexikon der Mathematik. Dritter Band. Inp bis Mon. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg und Berlin 2001, S. 119
2. ↑ ^{a b c} Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 69 ff.,220 ff. 
3. ↑ Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 72 ff.,220 ff. 
4. ↑ Jonathan Borwein, Peter Borwein: Pi and the AGM. Wiley, New York 1998, ISBN 0-471-31515-X, S. 339. 
5. ↑ Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 73. 
6. ↑ Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 72–74. 
7. ↑ Jonathan Borwein, Peter Borwein: Pi and the AGM. Wiley, New York 1998, ISBN 0-471-31515-X, S. 341. 
8. ↑ Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 187,197,254. 
9. ↑ Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 75. 

1. ↑ In der Monographie von Arndt und Haenel wird erwähnt, dass diese Berechnung von Dahse schon im Jahre 1840 stattgefunden hat, als Dahse an einer Vorlesung des österreichischen Mathematikers Lutz von Strassnitzky (1803–1852) teilnahm und von diesem dazu überredet wurde. Nach knapp zwei Monaten war Dahse damit fertig. Die Veröffentlichung dieser Rechenleistung geschah allerdings erst im Jahre 1844 im Journal für die reine und angewandte Mathematik. Sie gilt heute als Weltrekord für den damaligen Zeitpunkt.
2. ↑ Diese Formel wird bei Arndt/Haenel von Strassnitzky zugewiesen.