Aeppli-Kohomologie

Aeppli-Kohomologie ist im mathematischen Teilgebiet der komplexen Geometrie eine Kohomologietheorie für komplexe Mannigfaltigkeiten. Diese dient als Brücke zwischen der de-Rham-Kohomologie, welche für reelle Mannigfaltigkeiten definiert ist, welche komplexe Mannigfaltigkeiten insbesondere sind, sowie der Dolbeault-Kohomologie, welche dessen Analogon für komplexe Mannigfaltigkeiten ist. Ein direkter Vergleich der beiden Kohomologietheorien durch verbindende Abbildungen ist nicht möglich, jedoch bilden beide kanonisch in Aeppli-Kohomologie ab. Eine ähnliche Kohomologietheorie, welche in beide abbildet und welche daher auch als Brücke dient, ist die Bott-Chern-Kohomologie. Aeppli-Kohomologie ist benannt nach Alfred Aeppli, welcher diese im Jahr 1964 eingeführt hat.

Für eine komplexe Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ ist dessen Aeppli-Kohomologie gegeben durch:^[1][2][3]

${\displaystyle H_{\mathrm {A} }^{p,q}(X):=\ker(\partial _{p,q+1}{\overline {\partial }}_{p,q})/(\operatorname {img} (\partial _{p-1,q})+\operatorname {img} (\partial _{p,q-1})).}$

${\displaystyle \partial }$ sowie ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ notieren die Dobeault-Operatoren.

de-Rham- und Dobeault-Kohomologie sind gegeben durch:^[4]

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{n}(X):=\ker(\mathrm {d} _{n})/\operatorname {img} (\mathrm {d} _{n-1}),}$

${\displaystyle H_{\partial }^{p,q}(X):=\ker(\partial _{p,q})/\operatorname {img} (\partial _{p-1,q}),}$

${\displaystyle H_{\overline {\partial }}^{p,q}(X):=\ker({\overline {\partial }}_{p,q})/\operatorname {img} ({\overline {\partial }}_{p,q-1}).}$

Mit den kanonischen Inklusionen ${\displaystyle \ker(\mathrm {d} _{p+q})\hookrightarrow \ker({\overline {\partial }}_{p+1,q}\partial _{p,q})=\ker(\partial _{p,q+1}{\overline {\partial }}_{p,q})}$ und ${\displaystyle \operatorname {img} (\partial _{p-1,q})+\operatorname {img} (\partial _{p,q-1})\hookrightarrow \operatorname {img} (\mathrm {d} _{p+q-1})}$ gibt es eine kanonische Inklusion der de Rham- in die Aeppli-Kohomologie:^[2]

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{p+q}(X)\rightarrow H_{\mathrm {A} }^{p,q}(X).}$

Mit den kanonischen Inklusionen ${\displaystyle \operatorname {img} (\partial _{p-1,q}),\operatorname {img} ({\overline {\partial }}_{p,q-1})\hookrightarrow \operatorname {img} (\partial _{p-1,q})+\operatorname {img} (\partial _{p,q-1})}$ sowie ${\displaystyle \ker(\partial _{p,q})\hookrightarrow \ker({\overline {\partial }}_{p+1,q}\partial _{p,q})}$ und ${\displaystyle \ker({\overline {\partial }}_{p,q})\hookrightarrow \ker(\partial _{p,q+1}{\overline {\partial }}_{p,q})}$ gibt es kanonische Inklusionen der Dobeault- in die Aeppli-Kohomologie:^[2]

${\displaystyle H_{\partial }^{p,q}(X)\rightarrow H_{\mathrm {A} }^{p,q}(X),}$

${\displaystyle H_{\overline {\partial }}^{p,q}(X)\rightarrow H_{\mathrm {A} }^{p,q}(X).}$

Darüber hinaus gibt es kanonische Abbildungen ${\displaystyle H_{\mathrm {BC} }^{p,q}(X)\rightarrow H_{\mathrm {dR} }^{n}(X),H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\overline {\partial }}^{p,q}(X)}$ aus der Bott-Chern-Kohomologie, wobei alle drei möglichen Kompositionen ${\displaystyle H_{\mathrm {BC} }^{p,q}(X)\rightarrow H_{\mathrm {A} }^{p,q}(X)}$ identisch sind.

• Alfred Aeppli: On the cohomology structure of Stein manifolds. In: Proceedings of the Conference on Complex Analysis. 114. Jahrgang. Springer, Berlin, Heidelberg, 1964, S. 58–70, doi:10.1007/978-3-642-48016-4_7 (englisch). 
• Daniele Angella, Adriano Tomassini: On Bott-Chern cohomology and formality. 21. November 2014; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 1507.07112). 
• Daniele Angella: On the Bott-Chern and Aeppli cohomology. 25. Juli 2015; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 1507.07112). 

1. ↑ Aeppli 1964, S. 63
2. ↑ ^{a b c} Angella & Tomassini 2014, S. 1 & 1.1. Bott-Chern cohomology
3. ↑ Angella 2015, S. 5
4. ↑ Angella 2015, S. 3–4